Soal dan Pembahasan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Monday 14 February 2022
Diberikan dua lingkaran yang berpusat di P dan Q yang berturut-turut memiliki jari-jari R dan r serta jarak antar titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah k. (perhatikan gambar)
Garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut, misal garis AB dengan titik A dan B menyinggung masing-masing lingkaran(AB tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang bersangkutan) dikenal dengan nama Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran.
d = √(k² - (R+r)²)
d = panjang garis singgung persekutuan dalam
k = jarak kedua pusat lingkaran
R = jari-jari lingkaran pertama (besar)
r = jari-jari lingkaran kedua (kecil)
Soal dan Pembahasan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Soal 1
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jika jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm, maka hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya.
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran pertama (R) = 12 cm
Jari-jari lingkaran kedua (r) = 5 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (k) = 24 cm
Panjang garis singgung persekutuan dalam (d):
d = √(k² - (R + r)²)
d = √(24² - (12 + 5)²)
d = √(576 - (17)²)
d = √(576 - 289)
d = √287
d = 16,94
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam (d) kedua lingkaran tersebut adalah 16,94 cm.
Soal 2
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 6 cm, maka tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Pembahasan:
Panjang garis singgung persekutuan dalam (d) = 24 cm
Jari-jari lingkaran pertama (R) = 8 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (k)= 26 cm
Jari-jari lingkaran kedua (r):
d = √(k² - (R + r)²)
<=> 24 = √(26² - (8 + r)²)
<=> 24² = 676 - (8 + r)²
<=> 576 = 676 - (8 + r)²
<=> (8 + r)² = 676 - 576
<=> (8 + r)² = 100
<=> (8 + r) = √100
<=> 8 + r = 10
<=> r = 10 - 8
<=> r = 2
Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 2 cm.
Soal 3
Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran pertama (R) = 14 cm
Jari-jari lingkaran kedua (r) = 4 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (k) = 30 cm
Panjang garis singgung persekutuan dalam (d):
d = √(k² - (R + r)²)
d = √(30² - (14 + 4)²)
d = √(900 - (18)²)
d = √(900 - 324)
d = √576
d = 24
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam (d) kedua lingkaran tersebut adalah 24 cm.
Soal 4
Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm dan 9 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalamnya 32 cm. Tentukan jarak kedua pusat kedua lingkaran tersebut.
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran pertama (R) = 15 cm
Jari-jari lingkaran kedua (r) = 9 cm
Panjang garis singgung persekutuan dalam (d)= 32
Jarak kedua pusat lingkaran (k):
d = √(k² - (R + r)²)
<=> 32 = √(k² - (15 + 9)²)
<=> 32² = k² - (15 + 9)²
<=> 1.024 = k² - (24)²
<=> 1.024 = k² - 576
<=> k² - 576 = 1.024
<=> k² = 1.024 + 576
<=> k² = 1.600
<=> k = √1.600
<=> k = 40
Jadi, jarak kedua pusat kedua lingkaran tersebut adalah 40 cm.
Soal 5
Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jika jarak kedua pusatnya 10 cm, maka tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya.
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran pertama (R) = 5 cm
Jari-jari lingkaran kedua (r) = 3 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (k) = 10 cm
Panjang garis singgung persekutuan dalam (d):
d = √(k² - (R + r)²)
d = √(10² - (5 + 3)²)
d = √(100 - (8)²)
d = √(100 - 64)
d = √36
d = 6
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam (d) kedua lingkaran tersebut adalah 6 cm.
Soal 6
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, maka tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Pembahasan:
Panjang garis singgung persekutuan dalam (d) = 15 cm
Jari-jari lingkaran pertama (R) = 3 cm
Jarak kedua pusat lingkaran (k)= 17 cm
Jari-jari lingkaran kedua (r):
d = √(k² - (R + r)²)
<=> 15 = √(17² - (R + 3)²)
<=> 15² = 289 - (R + 3)²
<=> 225 = 289 - (R + 3)²
<=> (R + 3)² = 289 - 225
<=> (R + 3)² = 64
<=> (R + 3) = √64
<=> R + 3 = 8
<=> R = 8 - 3
<=> R = 5
Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 5 cm.
Itulah beberapa soal dan pembahasan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, mudah-mudahan dapat dimengerti.