Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri. Rumus-rumus yang akan digunakan dalam penyelesaian  turunan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:
1. Jika f(x) =  sin x maka f'(x) = cos x
2. Jika f(x) = cos x maka f'(x) = -sin x
3. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec²x
Tips
Setiap fungsi trigonometri yang hurufnya dimulai dengan huruf c, maka turunannya bernilai negatif

Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri
Soal 1
Turunan pertama fungsi y = cos (2x³ - x²) ialah.....
A. y' = sin (2x³ - x²)
B. y' = -sin (2x³ - x²)
C. y' = (6x² - 2x) cos (2x³ - x²)
D. y' = (6x² - 2x) sin (2x³ - x²)
E. y' = -(6x² - 2x) sin (2x³ - x²)
Pembahasan: 
y = cos (2x³ - x²)
Misalkan:
u(x) = 2x³ - x² maka u'(x) = 6x² - 2x
y = cos u(x)
y' = -sin u(x) . u'(x)
y' = -sin (2x³ - x²) . (6x² - 2x)
y' = -(6x² - 2x).sin(2x³ - x²)
(JAWABAN: E)

Soal 2
Jika y = x² sin 3x, maka dy/dx = .....
A. 2x sin 3x + 2x² cos x
B. 2x sin 3x + 3x² cos 3x
C. 2x  sin x + 3x² cos x
D. 3x cos 3x + 2x² sin x
E. 2x² cos x + 3x sin 3x
Pembahasan:
y = x² sin 3x
Misalkan:
u(x) = x² maka u'(x) = 2x
v(x) = sin 3x maka  v'(x) = 3 cos 3x
y = u(x) . v(x)
y' = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
    = 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
    = 2x sin 3x + 3x²cos 3x
(JAWABAN: B)

Soal 3
Diketahui fungsi F(x) = sin²(2x + 3) dan turunan pertama dari F adalah F'. Maka F'(x) =.....
A. 4 sin (2x  + 3) cos (2x + 3)
B. -2 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
C. 2 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
D. -4 sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
E. sin (2x  + 3) cos (2x  + 3)
Pembahasan:
F(x) = sin²(2x + 3)
Misalkan:
u(x) = sin (2x + 3), maka:
u'(x) = cos (2x + 3) . 2
        = 2cos (2x + 3)
(2 berasal dari turunan (2x + 3))
F(x) = [u(x)]²
F'(x) = 2[u(x)]¹ . u'(x)
        = 2sin (2x + 3) . 2cos (2x + 3)
        = 4sin (2x +  3) cos (2x + 3)
(JAWABAN: A)

Soal 4
Diketahui f(x) = sin³ (3 - 2x). Turunan pertama fungsi f  adalah f' maka f'(x) = .....
A. 6 sin² (3 - 2x) cos (3 - 2x)
B. 3 sin² (3 - 2x) cos (3 - 2x)
C. -2 sin² (3 - 2x) cos (3 - 2x)
D. -6 sin (3 - 2x) cos (6 - 4x)
E. -3 sin (3 - 2x) sin (6 - 4x)
Pembahasan:
f(x) = sin³ (3 - 2x)
Misalkan:
u(x) = sin (3 - 2x), maka:
u'(x) = cos (3 -  2x) . (-2)
u'(x) = -2cos (3 -  2x)
(-2 berasal dari turunan (3-2x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 - 2x) . -2cos (3 - 2x)
       = -6 sin²(3 - 2x) . cos (3 - 2x)
       = -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 - 2x)
       = -3 . sin (3 - 2x). 2 sin (3 - 2x).cos (3 - 2x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
       = -3 sin (3 - 2x) sin 2(3 - 2x)
       = -3 sin (3 - 2x) sin (6 - 4x)
(JAWABAN: E)

Soal 5
Turunan pertama dari F(x) = sin³ (5 - 4x) adalah F'(x) = .....
A. 12 sin² (5 - 4x) cos (5 - 4x)
B. 6 sin (5 - 4x) sin (10 - 8x)
C. -3 sin² (5 - 4x) cos (5 - 4x)
D. -6 sin (5 - 4x) sin (10 - 8x)
E. -12 sin² (5 - 4x) cos (10 - 8x)
Pembahasan:
F(x) = sin³ (5 - 4x)
Misalkan:
u(x) = sin (5 - 4x), maka:
u'(x) = cos (5 - 4x) . (-4)
u'(x) = -4cos (5 - 4x)
(-4 berasal dari turunan (5 - 4x))
f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(5 - 4x) . -4cos (5 - 4x)
       = -12 sin²(5 - 4x) . cos (5 - 4x)
       = -6 . 2 sin (5 - 4x).sin (5 - 4x).cos (5 - 4x)
       = -6 . sin (5 - 4x). 2 sin (5 - 4x).cos (5 - 4x)
(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
       = -6 sin (5 - 4x)) sin 2(5 - 4x)
       = -6 sin (5 - 4x) sin (10 - 8x)
(JAWABAN: D)

Soal 6
Jika f(x) = $\frac{sin x + cos x}{sin x}$,  sin x ≠ 0 dan f' adalah turunan f, maka f'($\frac{π}{2}$) = .....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
f(x) = $\frac{sin x + cos x}{sin x}$
Misalkan:
* u(x) = sin x + cos x , maka:
   u'(x) = cos x - sin x
* v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x
f(x) = $\frac{u(x)}{v(x)}$
f'(x) = $\frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^{2}}$
       = $\frac{(cos x - sin x).(sin x)-(sin x + cos x).(cos x)}{[sin x]^{2}}$
f'($\frac{π}{2}$) = $\frac{(cos \frac{π}{2} - sin \frac{π}{2}).(sin \frac{π}{2})-(sin \frac{π}{2} + cos \frac{π}{2}).(cos \frac{π}{2})}{[sin \frac{π}{2}]^{2}}$
f'($\frac{π}{2}$) = $\frac{(0 - 1).(1)-(1 + 0).(0)}{(1)^{2}}$
f'($\frac{π}{2}$) = $\frac{-1 - 0}{1}$
f'($\frac{π}{2}$) = -1
(JAWABAN:  B)

Soal 7
Turunan fungsi y = tan x adalah.....
A. cotan x
B. cos² x
C. sec² x + 1
D. cotan² x + 1
E. tan²x + 1
Pembahasan:
y = tan x
y = $\frac{sin x}{cos x}$
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
v(x) = cos x, maka v'(x) = -sin x
y = $\frac{u(x)}{v(x)}$
y = $\frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^{2}}$
   = $\frac{cos x.cos x-sin x . (-sin x)}{[cos x]^{2}}$
   = $\frac{cos^{2}x+ sin^{2}x}{cos^{2}x}$
   = $\frac{sin^{2}x+ cos^{2}x}{cos^{2}x}$
   = $\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}$ + $\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x}$
   = $(\frac{sin x}{cos x})^{2}$ + 1
   = (tan x)² + 1
   = tan²x + 1
(JAWABAN: E)

Soal 8
Jika f(x) =  a tan x + bx dan f'($\frac{π}{4}$) = 3, f'($\frac{π}{3}$) = 9, maka (a + b) = .....
A. 0
B. 1
C. $\frac{π}{2}$
D. 2
E. π
Pembahasan:
f(x) =  a tan x + bx
f'(x) = a . $\frac{1}{cos^{2}x}$ + b
f'($\frac{π}{4}$) = a . $\frac{1}{cos^{2}\frac{π}{4}}$ + b
<=> 3 = a . $\frac{1}{((√2)/2)^{2}}$ + b
<=> 3 = 2a + b ............(1)
f'($\frac{π}{3}$) = a . $\frac{1}{cos^{2}\frac{π}{3}}$ + b
<=> 9 = a . $\frac{1}{(½)^{2}}$ + b
<=> 9 = 4a + b..............(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
2a + b = 3
4a + b = 9  -
<=> -2a = -6
<=> a = -6/-2
<=> a = 3
Subtitusi nilai a = 3 ke persamaan (1), diperoleh:
2(3) + b = 3
6 + b = 3
      b = 3 - 6
      b = -3
Jadi, a + b = 3 + (-3) = 0
(JAWABAN: A)

Soal  9
Jika r = $\sqrt{sin θ}$, maka dr/dθ = .....
A. $\frac{1}{2\sqrt{sin θ}}$
B. $\frac{cos θ}{2sin θ}$
C. $\frac{cos θ}{2\sqrt{sin θ}}$
D. $\frac{-sin θ}{2cos θ}$
E.  $\frac{2cos θ}{\sqrt{sin θ}}$
Pembahasan:
Misalkan:
u = sin θ, maka u' = cos θ
r = $\sqrt{sin θ}$
r = $\sqrt{u}$
r = $(u)^{½}$
r' = $\frac{1}{2√u}$ . u'
r' = $\frac{1}{2\sqrt{sin θ}}$ . cos θ
r' = $\frac{cos θ}{2\sqrt{sin θ}}$
(JAWABAN: C)

Soal 10
Jika f(x) = -(cos² x - sin²x), maka f'(x) adalah.....
A. 2(sin x - cos x)
B. 2(cos x -  sin x)
C. sin x. cos x
D. 2sin x cos x
E. 4sin x cos x
Pembahasan: 
f(x) = -(cos² x - sin²x)
f(x) = -((1 - sin²x) - sin²x)
f(x) = -(1 - 2sin²x)
f(x) = 2sin²x - 1
Misalkan:
u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x
f(x) = 2[u(x)]² - 1
f'(x) = 4 . u(x)¹. u'(x) - 0
f'(x) = 4 sin x  cos x
(JAWABAN: E)

Demikian postingan "Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri" kali ini mudah-mudahan dengan beberapa soal dan pembahasan di atas dapat memudahkan anda menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri.

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel