Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks
Sunday 1 July 2018
Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat rotasi.
Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh:
1. Titik pusat rotasi
2. Besar sudut rotasi
3. Arah sudut rotasi
Berikut ini adalah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi
P(x,y) ➝ P'(x',y')
Itulah sedikit materi tentang apa itu rotasi (perputaran), selanjutnya kita masuk dalam contoh soal dan pembahasannnya dalam hal ini dengan menggunakan matriks.
Soal ❶
Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$
Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2.
Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2).
Soal ❷
Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) adalah (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos θ&-sin θ\\sin θ&cos θ\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
Karena θ = 45⁰, maka:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos 45⁰&-sin 45⁰\\sin 45⁰&cos 45⁰\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}-√2 \\√2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}½√2 &-½√2 \\½√2 &½√2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}-√2 \\√2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}½√2x -½√2y \\½√2x+½√2y\end{pmatrix}$
Dengan demikian:
½√2x - ½√2y = -√2 ...........(1)
½√2x + ½√2y = √2 ...........(2)
Karena θ = 45⁰, maka:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos 45⁰&-sin 45⁰\\sin 45⁰&cos 45⁰\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}-√2 \\√2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}½√2 &-½√2 \\½√2 &½√2\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}-√2 \\√2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}½√2x -½√2y \\½√2x+½√2y\end{pmatrix}$
Dengan demikian:
½√2x - ½√2y = -√2 ...........(1)
½√2x + ½√2y = √2 ...........(2)
Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2.
Jadi, koordinat titik A adalah (0,2).
Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}5-2\\-1-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
⟺$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
⟺$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}5-2\\-1-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
⟺$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
⟺$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}$
Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0.
Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0).
Soal ❹
Jika garis x - 2y = 5 diputar sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya.
Pembahasan:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x-2\\y-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-y\\x-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-y\\x+2\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-y\\x-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$
⟺ $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-y\\x+2\end{pmatrix}$
Dengan demikian, maka:
x' = 6 - y => y = 6 - x'
y' = x + 2 => x = y' - 2
Dengan mensubtitusikan x = y' - 2 dan y = 6 - x' pada persamaan garis, diperoleh:
(y' - 2) - 2(6 - x') = 5
y' - 2 - 12 + 2x' = 5
2x' + y' = 5 + 2 + 12
2x' + y' = 19
x' = 6 - y => y = 6 - x'
y' = x + 2 => x = y' - 2
Dengan mensubtitusikan x = y' - 2 dan y = 6 - x' pada persamaan garis, diperoleh:
(y' - 2) - 2(6 - x') = 5
y' - 2 - 12 + 2x' = 5
2x' + y' = 5 + 2 + 12
2x' + y' = 19
Jadi, persamaan bayangan garis x - 2y = 5 oleh rotasi sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam adalah 2x + y = 19.
Baca Juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Dilatasi
Demikian postingan tentang "Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks" ini, semoga dapat membantu anda dalam menyelesaikan soal-soal terkait dengan transformasi geometri (rotasi).